송창헌의

수리논술특강-13강(이각형의 존재)

  이번 강부터 기하학특강을 한다. 독자들은 학교나 기타 사교육기관에서 배워왔던 것과 전혀 다른 오묘한 세계를 접하게 될 것이다. 기하학이야말로 인간 상상력의 출발점이다. 지나간 30여년의 세월동안 우리나라는 기하학을 등한시했다. 그 상상력의 보고를 스스로 외면하였던 것이다.  자! 이제 시작해보자. 삼각형이란 세 점 A, B, C 를 잇는 세 선분( 직선의 일부분 ) 으로 이루어진 도형이다. 그렇다면 이각형이란 무엇일까?  필자가 우리 아들 기상이에게 어느 날 ( 그가 초등학교 3학년 때 ) “ 이각형을 그려보라 ” 하였더니 놀랍게도 그것을 그렸다!!!  어른들은 경직된 세계에 살고 있기 때문에 사고의 유연성에서 아이들과 비할 바가 못 된다.  기상이는 정확하게 해답을 그렸다. 아래 그림을 보기 바란다. 아주 단순하다. 점이 2 개 잇고, 직선의 일부분 2 개가 교차하면 되는 것이다. 그러면 실제적으로 이각형은 존재 가능한 개념일까?

  이제 직선의 개념부터 생각해보자. 직선이란 두 점 A, B 를 잇는 최단거리라고 정의한다. 우리는 보통 문방구에서 자를 구입하여 두 점을 잇는다. 그러나 두점 사이가 조금 멀어져서 30cm 자를 쓸 수가 없다면 어떻게 두 점을 잇는 직선을 그을 수 있을까>? 조금 더 큰 자로? 두 점 사이가 아주 멀다면( 지구에서 안드로메다 우주까지 ) 우리는 직선을 그을 수 없다!  그러면 직선이란 허무한 개념인가?  여기에서 우리가 접근 가능한 방법은 빛을 이용하는 것이다. 빛의 속도는 우주의 궁극속도이기 때문에 ( 즉, 가장 빠른 속도 ) 빛이 두 점을 운행하는 경로를 직선이라 정의하면 된다. 왜냐하면 빛은 두 지점을 최단시간에 통과하리라고 인정하기 때문이다.( 최소시간의 원리) 그렇다면 지구와 같이 둥근 표면에서 빛이 두 지점을 통과하려면 어떻게 해야 할까?  A의 바로 옆에 있는 점 A1까지 직선을 긋는다. 그다음 또 A1에서 A2까지 잇는다. 이런 식으로 계속 연결하여간다. 쉽게 생각해보면 다음과 같다. 두 사람이 줄을 팽팽하게 잡아당기고 서로 함 발짝씩 뒤로 물러선다. 조금 씩 조금 씩 뒤로... 그리하여 한사람은 남극으로, 함 사람은 북극으로 간다. 그러면 구면 위에서 직선이 하나 그어졌다. 이번에는 다른 경로를 택하여 직선을 긋는다. 자, 보라. 아래 그림과 같이 이각형이 만들어지지 않았는가?  기묘한 형태이나 이각형 임에 틀림없다. 이러한 구면상에서의 삼각형의내각의 합은 180도가 넘는다. 아래 그림에서 각B와 각C는 90도이다. 이미 삼각형의 내각의 합은 180도가 넘어버렸다! 우리는 아주 좁은 공간속에서 살기 때문에 복잡한 개념이 불필요하나 앞으로의 세계는 우주에로 나아가야하는 피튀기는 상상력의 세계이다. 우리의 후손들은 우리보다 더 멀리 나아갈 것이며 이러한 개념의 확장은 대단히 가치 있는 것이다.

<저작권자©구민신문. 무단전재-재배포금지> 2006-12-14 20:38 송고