송창헌의 수리논술특강 34강 (Matching Problem)
본 내용은 존경하는 이기성 박사님의 혜안에 의하여 풀린 난제중의 난제이다.
1987년 일본 게이오 대학의 입학시험 문제 중 하나였는데, 대단히 흥미로우며 우리의 상상력을 자극하기에 충분하다.
자, 10만 명을 수용할 수 있는 잠실운동장에 5만 쌍의 부부 중 남자 5만 명을 먼저 입장시키고, 옆의 한자리씩 비워두게 한다. 그리고 남자들에게 다 복면을 씌운다. 그 다음 부인들을 입장시켜 무작위로 아무 자리에 앉게 하였더니 모두 자기남편 옆자리가 아니었다. 이렇게 될 확률은 어떻게 접근하여야 할까?
이 풀이과정은 세 번의 상상력의 도약이 필요하며 그 모두 매우 흥미로울 것이다.
우선 (n+2)명의 부부가 모두 틀리게 할 경우를 생각하여 보라. 이 틀리는 경우의 수를
an+2라 하자. 누군가 X가 자기부인과 틀리게 앉을 경우는 (n+1)개이다.
∴an+2=(n+1)T의 형태를 갖게 된다. 이 때 X를 1번이라 하고 1번이 2번의 부인과 앉았다고 할 경우, 2번은 1번의 부인과 앉는 경우와 그렇지 않은 경우가 있다. 따라서 2번이 1번의 부인과 앉게 되면, 결국 2쌍을 짝지었으므로, n쌍의 부부가 틀리게 앉으면 된다.
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2007-06-21 18:45 송고
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