송창헌

 수리논술특강 16강- 간단한 대수식의 기하학에의 적용

  이번 강에는 삼각형의 무게중심과 피타고라스 정리에 나타나는 인수분해와 전개에 관하여 이야기하겠다.  우선 무게중심부터 이야기하자. 삼각형의 무게중심의 정의는 다음과 같다. 삼각형의 각 꼭지점에서 대변의 중점을 잇는 세 선분은 한 점에서 만나며 이 점을 무게중심이라 한다.(그림 1에서 G ) 그런데 이 세 선분이 한 점 G에서 만나는 것을 증명해야 한다. 여러 가지 증명법이 있으나 지금 소개하는 것은 보통 교과서에 나와 있지 않으면서도 매우 단순한 대수식을 이용하는 것이다. 참으로 단순하며 아름답다. 우선 선분 BC의 중점 D를 잡고 선분 AD를 잇는다. 또한 선분 AC의 중점 E를 잡고 선분BE를 그어 두 선분의 교점을 G라 한다. ( 그림 2 ) 그 다음 선분 CG의 연장선과 변 AB가 만나는 점을 F라 한다. 이 때 F가 선분 AB의 중점임을 밝히면 된다. 즉, AF=BF임을 보이면 되는 것이다. D,E 는 각변의 중점이므로 △GBD=△GCD=a이다. 마찬가지로 △AGE=△CGE=b이다. 이때, △ADC=△BCE=1/2*△ ABC 이므로 2a+b=a+2b이다. 따라서 a=b가 된다. 그러므로 △AGC=△BGC 가 되며 밑변이 같으므로 높이가 같다. 따라서 AF=BF 인 것이다.

 또한 피타고라스 정리에서는 그림4에서와 같이 직각삼각형 네 개로 정사각형 ABCD를 만들 수 있다. 정사각형 ABCD의 면적은 (a+b)²이며, 이것은 정사각형 EFGH + 4△ ․ AFE이므로 (a+b)²=c²+4․(ab)이다. 이 식을 전개하면 a